Prawo pierwszej cyfry, niezmienniczość skalowania i szarlatani

Obiecałem wyjaśnić, dlaczego ciągi geometryczne takie jak ciąg Fibonacciego (prawie geometryczny) lepiej nadają się do przybliżania wielkości fizycznych niż jakiekolwiek inne. To zagadnienie jest ściśle związane z prawem Benforda zwanym też prawem pierwszej cyfry i od tego właśnie zaczniemy.

Otwórz dowolną gazetę. Przeczytaj pierwszą liczbę mianowaną (czyli z jednostką), jaką znajdziesz. Może to być 16 - "policja skonfiskowała 16 kg kokainy" albo 143 - "skoczył 143 m" - cokolwiek. Weź pierwszą cyfrę znaczącą (czyli pierwszą, która nie jest zerem). Prawo Benforda mówi, że na:

30% jest to cyfra 1,

18% cyfra 2,

12% - 3

10% - 4

7,9% - 5

6,7% - 6

5,8% - 7

5,1% - 8

4,6% - 9

Małe cyfry są dużo bardziej prawdopodobne! Brzmi głupio, prawda? Sprawdźmy to. Pierwsze państwo, jakie mi przychodzi do głowy to Gabon. Wikipedia podaje:

• powierzchnia: 267 667 km² - cyfra 2
• liczba ludności: 1 454 867 - cyfra 1
• PKB: 20,18 mld USD - cyfra 2

i jeszcze mnóstwo innych liczb, wśród których bardzo wiele zaczyna się cyfrą 1 i bardzo nieliczne cyfrą 9. To tylko kilka liczb - żaden dowód. Potrzeba większego zbioru. W bazie danych programu Mathematica 7 znajdują się 36362 francuskie gminy - począwszy od Paryża z 2138551 mieszkańcami, aż do Rochefourchat z 1 mieszkańcem. Poniższy wykres przedstawia częstość występowania różnych pierwszych cyfr wśród liczb ludności tych 36632 gmin:

Zgadza się fenomenalnie! Spróbujmy z innej beczki. Liczby ludności, powierzchnie i PKB 238 państw i terytoriów zależnych z bazy mathematici:

Tu już widać wyraźne odstępstwa, ale tego należało się spodziewać - próbka jest dużo mniejsza. W sieci można znaleźć jeszcze tysiące innych zbiorów, dla których sprawdza się prawo Benforda - ceny akcji, długości rzek, adresy, masy atomowe pierwiastków, odległości galaktyczne, stałe fizyczne, a nawet stałe matematyczne.Typowa pierwsza reakcja rozumnej osoby, która słyszy o tym prawie to: "To jakaś numerologia! Co mają cyfry wspólnego z wszechświatem? To nie ma prawa działać - przecież wystarczy zmienić jednostkę i wszystkie cyfry się pozmieniają!". To sensowne zarzuty. Ale na rzeczywistość nie ma się co obrażać - zamiast tego spróbujmy zrozumieć, dlaczego jest jak jest. Niestety będzie do tego potrzebna odrobina matematyki, a zawsze gdy się matematyczne zagadnienie tłumaczy szerokiej publiczności, to połowa nic nie rozumie, a druga połowa się nudzi. Mam nadzieję, że w przypadku poniższego tekstu będzie dokładnie na odwrót.

Długości rzek ani powierzchni państw nie da się wyliczyć tak, jak się oblicza trajektorię rakiety, dlatego potrzebujemy jakiegoś czysto matematycznego modelu, który będzie symulował liczby pojawiające się w gazetach. Zacznijmy naiwnie: potęgi dwójki. 2, 4, 8, 16... - jak dużo liczb z tego zbioru zaczyna się cyframi 1, 2, 3 ... 9? Okazuje się, że wśród pierwszych 10000 potęg 30% ma pierwszą cyfrę 1, 18% cyfrę 2, 12% cyfrę 3 itd. - dokładnie jak w prawie Benforda. Zauważmy, że po każdej potędze dwójki, która zaczyna się cyfrą 1 następuje taka, która zaczyna się cyfrą 2 lub 3. Po 16 jest 32, po 128 - 256, po 1024 - 2048. Stąd wniosek, że pierwsza cyfra 1 powinna występować tak samo często, jak cyfry 2 i 3 razem wzięte. Tak właśnie jest - 30%=18%+12%. Na tej samej zasadzie cyfra 2 występuje tak samo często, co cyfry 3 i 4. Dla prawa Benforda nie ma różnicy pomiędzy liczbą 16, 1600 i 1,6, dlatego umówmy się, że od tej pory wszystkie rozważane liczby będą w przedziale [1; 10] (16 to 1,6; 1024 to 1,024). Wiemy, że 30% potęg dwójki jest w przedziale [1; 2]. A ile z nich jest w [1,5; 2]? Okazuje się, że 12% - tyle samo, co w [3; 4]. Poniższy diagram pokazuje, ile potęg 2 (spośród pierwszych 30000) mieści się w przedziałach [1; 1,5], [1,5; 2] itd.. Prawdopodobieństwo, że losowa potęga 2 znajduje się w przedziale [4; 4,5] jest równe polu odpowiedniego słupka. Suma pól wszystkich słupków wynosi 1 (prawdopodobieństwo, że 2^n leży gdziekolwiek). Suma pól 2 pierwszych słupków wynosi tyle, co pole pierwszego słupka na wykresie z francuskimi gminami.

Jeśli będziemy brać coraz więcej potęg 2 i używać coraz mniejszej szerokości słupków, ten diagram będzie coraz bardziej przypominał linię ciągłą. W końcu dla nieskończenie cienkich słupków otrzymamy:

Pole pod wykresem tej funkcji jest nadal równe 1. Pole pomiędzy liczbami np. 6 i 7 jest takie samo jak poprzednio pole słupka nr 6 - 0.067 i takie samo jak suma pól słupków [6; 6,5] oraz [6,5; 7] 0.035+0.032=0.067. Funkcja, którą uzyskaliśmy to gęstość rozkładu prawdopodobieństwa dla naszego problemu. Wartość funkcji f(x) mówi, jak gęsto leżą potęgi 2 w pobliżu punktu x. Prawdopodobieństwo, że 2^n leży w przedziale [a; b] jest równe polu pod wykresem f(x) pomiędzy punktami a i b. Jeśli przedział [a; b] jest na tyle krótki, że f(a) niewiele różni się od f(b), to można to pole przybliżyć przez:

p([a; b]) = f(a) (b-a)

W przeciwnym przypadku trzeba umieć policzyć pole pod wykresem ściśle (całka). Jeśli tylko poznamy funkcję f, będziemy mogli odpowiedzieć na pytanie, skąd w prawie Benforda te konkretne liczby 30%, 18% itd..

Zauważyliśmy wcześniej, że prawdopodobieństwo, że liczba leży w [1; 2] jest takie samo jak prawdopodobieństwo, że leży w [2; 4]. Na tej samej zasadzie p([x,x+dx])=p(2x,2x+2dx)

czyli

f(x) dx = f(2x) 2 dx

czyli

f(x)=2 f(2x) *

Jaka funkcja spełnia takie równanie? Spośród funkcji ciągłych tylko funkcje f(x) = 0 i f(x) = const/x. Funkcja 0 odpada bo pole pod wykresem zawsze jest 0, funkcja const/x ma pole pod wykresem =1 pod warunkiem, że const=1/Ln(10). I to jest to! Gęstość rozkładu Benforda wynosi 1/(Ln(10) x). Pole pod wykresem tej funkcji na przedziale od 1 do 2 wynosi Ln(2)/Ln(10) = 0.30103. Pole na przedziale od n do n+1 -- Ln(n/(1 + n))/Ln(10) i takie właśnie jest prawdopodobieństwo, że liczba przeczytana w gazecie zaczyna się cyfrą n.

Wszystko to wygląda nieźle, ale nadal nie odpowiedzieliśmy na 2 pytania: dlaczego powierzchnie państw przestrzegają tego samego rozkładu, co potęgi 2 i dlaczego wszystko to nie zawali się, gdy zaczniemy mierzyć te powierzchnie w milach kwadratowych. Zbiór wszystkich potęg 2 nie zmienia się, gdy pomnożymy je wszystkie przez 2. Jeśli zbiór się nie zmienia, to i rozkład cyfr się nie zmienia i stąd dostaliśmy równanie f(x) =2 f(2x). Nietrudno się domyślić, że warunkiem aby rozkład się nie zmienił po pomnożeniu wszystkich liczb przez d jest równanie f(x)=d f(dx). Funkcja f(x) = c/x spełnia to równanie dla każdego d i jest jedyną funkcją o tej własności**! Co to oznacza po przetłumaczeniu na simple polish?

• według rozkładu Benforda, n razy większe liczby występują n razy rzadziej albo inaczej mówiąc w przedziale [a; b] jest ich tyle samo, co w przedziale [na; nb]
• liczba 2 nie jest w żaden sposób wyróżniona. Potęgi prawie*** każdej liczby mają tę samą własność: Fi, 532, Pi, pierwiastek z 6, -11
• jeśli jakiś zbiór liczb spełnia prawo Benforda, to po zmianie jednostki(czyli pomnożeniu przez stałą) dalej będzie spełniał
• jeśli jakiś zbiór liczb ma rozkład pierwszych cyfr inny niż Benforda, to po zmianie jednostki ten rozkład się zmieni

Całkowite długości granic wszystkich państw, wyrażone w kilometrach spełniają nieźle prawo Benforda. Zmiana jednostki na mile morskie niczego nie psuje:

Jest to jeszcze bardziej uderzające, gdy użyjemy większego zbioru. Rozkład pierwszych cyfr dla liczb ludności francuskich gmin przed i po pomnożeniu przez Pi:

Gdyby natomiast pierwsze cyfry były wszystkie tak samo częste (jak można by naiwnie sądzić), to po zmianie jednostki przestałoby to być prawdą - jednostka kilometr byłaby wyjątkowa. Do wykresów poniżej wziąłem 10000 liczb o cyfrach rozłożonych równomiernie, a następnie przeliczyłem wszystkie na mile morskie.

Powiedzmy to jeszcze raz:

Rozkład c/x jest jedynym, który nie zmienia się przy zmianie jednostki.

Ta własność nazywana jest niezmienniczością skalowania.

Dokładnie ona jest powodem, dla którego liczby z tablic fizycznych pasują do tego rozkładu: gdyby wszystkie liczby z tablic poprzeliczać na jednostki anglosaskie albo starogermańskie albo jakiekolwiek inne, rozkład cyfr nie powinien się zmienić, bo stałe fizyki nie powinny wyróżniać żadnego układu. Jest tylko jeden rozkład, który spełnia ten postulat - rozkład Benforda. Ktoś mi zarzuci, że to nie jest ścisły dowód. Nie jest, bo to nie jest ściśle prawda. W wielu sytuacjach prawo Benforda nie może działać i nie działa:

• wzrost ludzi - prawie zawsze zaczyna się cyfrą 1. W przeciwieństwie do np. liczb ludności państw, wzrosty ludzi zmieniają się w bardzo niewielkich granicach. Nie ma ludzi 10 razy wyższych od innych - nie ma mowy o niezmienniczości skalowania.
• numery telefonów - nie są wielkościami niczego, tylko ciągiem cyfr. Nie ma powodu aby zbiór numerów telefonów miał się nie zmienić pomnożony prze 52
• liczby porządkowe - np. lokaty Małysza w kolejnych konkursach - j.w.

Mimo, że kolejne lokaty Małysza, wzrost ludzi, kolejne połowy dorsza w Bałtyku itd. nie są z różnych powodów scale invariant, to zbiór utworzony z tych wszystkich liczb zebranych do kupy najczęściej już taki jest. Dlatego właśnie, że są to liczby z różnych dziedzin i z różnymi jednostkami, nie ma powodu aby wyróżniały jakąś skalę tzn. aby pomnożone przez 17 miały inny rozkład niż pomnożone przez Pi. Istnieją też sytuacje, w których prawo Benforda jest spełnione ściśle****:

• startujemy od dowolnej liczby x różnej od 0. Co minutę w zależności od wyniku rzutu monetą mnożymy x przez 1.1 albo przez 0.7. W tej sytuacji przez 30% czasu pierwsza cyfra liczby x będzie 1, przez 18% 2 itd.
• tak samo jak wyżej, ale tym razem mnożymy przez liczbę z np. rozkładu normalnego
• startujemy ze zbiorem 10000 liczb różnych od 0. Co minutę losujemy 2 z nich - a i b, a następnie zamiast a i b wpisujemy na listę ab oraz a/b (albo ab i a, bez różnicy). Po upływie dostatecznie długiego czasu nasze 10000 liczb dostosuje się do rozkładu Benforda
• losujemy dwa punkty a, b z odcinka [0; 1]. Z przedziału [a; b] losujemy dwie liczby x, y. Ilorazy x/y spełniają ściśle prawo Benforda
• kolonia bakterii rośnie wykładniczo tzn. podwaja się w stałych odstępach czasu. W losowych momentach zapisujemy, ile aktualnie jest bakterii. Zapisane liczby spełniają ściśle.

Teraz już można odpowiedzieć na pytanie z poprzedniego odcinka. Ciągi geometryczne (np. potęgi 2) mają rozwinięcia dziesiętne o rozkładzie Benforda. Liczby w przyrodzie, w gazetach oraz na giełdzie tak samo. Dlatego właśnie ciągi geometryczne lepiej nadają się do przybliżania wielkości fizycznych niż np. liczby równomiernie rozłożone na całym przedziale [1; 10]. Potęgi 2, 7, Fi itd. zagęszczają się tak samo jak liczby z tablic w pobliżu 1 i to dokładnie w tej samej proporcji: n razy większe liczby występują n razy rzadziej. Myślę, że to może być powód dla którego szarlatani-nieucy w rodzaju Carolana i Fishera dochodzą do wniosku, że liczby Fibonacciego (lub pierwiastki z nich) są magiczne. Liczby Fibonacciego jako ciąg geometryczny nieźle dają się dopasować do liczb z giełdy, a o tym, że potęgi liczby 1,234 pasowałyby równie dobrze skąd mają biedacy wiedzieć.

Powyższe rozumowanie odnosi się do rozwinięć dziesiętnych liczb, a nie do samych liczb, ale numerologom właśnie tyle wystarcza aby coś "dopasować" - 1,618 miesięcy, 1618 dni, czy 161,8 tygodni to im bez różnicy. Rozkład "całej" liczby nie może być niezmienniczy ze względu na skalowanie, bo zasada "w przedziale [a; b] tyle samo, co w przedziale [na; nb]" prowadzi do tego, że całkowite prawdopodobieństwo staje się nieskończenie duże*****. Mimo to w przyrodzie wiele rozkładów jest chociaż w przybliżeniu niezmienniczych tzn. ich gęstość jest ~1/x np. na przedziale [10; 10^6], a potem spada do 0. W takim przypadku prawo Benforda dla rozwinięć dziesiętnych jest automatycznie spełnione. Ale to temat na innego posta (albo dysertację).

Na zakończenie największy test prawa Benforda jaki znam: 4 pierwsze cyfry 200 mln. stałych matematycznych z bazy odwrotnego kalkulatora symbolicznego. Widoczne nierówności biorą się stąd, że tam jest 10000 binów (!) - w rzeczywistości zgodność z prawem Benforda jest tu lepsza niż w jakimkolwiek przykładzie, który wcześniej podałem.

*przemyśl to czytelniku, bo to najważniejsza część rozumowania

**tym razem nawet nie trzeba zakładać, że jest ciągła. Podstaw w równaniu d = 1/x

***w sensie Lebesgue-a

****pierwsze 3 fakty łatwo udowodnić korzystając tylko z faktu, że rozkład 1/x jest jedynym rozkładem niezmienniczym ze względu na skalowanie

*****a mówiąc po naszemu, funkcja 1/x nie daje się unormować

Dyrdymałki z Analizy Technicznej część 2

Dzisiejszy odcinek sponsorują litera fi i liczba 18. Kolejna porcja slajdów z wykładów z Analizy Technicznej dra Krzysztofa Borowskiego. Tym razem o teoriach Carolana, Fishera i Ganna. Jeśli ktoś ma wątpliwości, czy to wszystko nie żart, odsyłam do pracy doktorskiej dra Borowskiego pod kierunkiem profesora Jerzego Nowakowskiego:

http://nauka-polska.pl/dhtml/raporty/praceBadawcze?rtype=opis&lang=pl&objectId=27512

oraz książki o tych teoriach, którą obaj panowie popełnili:

http://www.oe.pl/x_C_I__P_40116140__LL_0__PZTA_2DE.html

Pierwszy slajd:

Teoria Carolana

Jeszcze nie wiem, o co chodzi, a już mi się podoba.

Co oddziałuje na inwestorów

• Także Carolan w swojej książce podkreśla wagę związków zachodzących między zachowaniami poszczególnych inwestorów a odpowiednio:
• Oddziaływaniem Księżyca
• Oddziaływaniem Słońca

Nie da się ukryć, że nasze życie jest zorganizowane w cyklu dobowym i w mniejszym stopniu miesięcznym (np. wypłaty), co odbija się również na giełdzie. Jednak chodzi tu o miesiąc kalendarzowy, a nie księżycowy. Mimo długich poszukiwań NIE znaleziono dowodów na istnienie związku między fazami Księżyca i zachowaniem ludzi.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_effect

Jeśli ktoś mimo wszystko obawia się, że pełnia Księżyca wpłynie na jego decyzje inwestycyjne, jest na to prosta rada: nie handluj akcjami nocą pod gołym niebem na wsi. Jedyne "oddziaływanie Księżyca" jakie mogłoby POTENCJALNIE wpływać na ludzkie umysły, to jego światło. Oddziaływanie grawitacyjne jest po pierwsze za słabe, a po drugie działa przez cały miesiąc, a nie tylko w czasie pełni (w nowiu Księżyc też jest na niebie, tylko nie świeci).

• Oddziaływaniem innych planet

Nawet nie zamierzam zaszczycić tej propozycji ripostą.

W kalendarzu spiralnym udało się Carolanowi połączyć astrologię z numerologią (a co się będzie porządna pseudonauka marnować):

Złoty stosunek i liczby Fibonacciego pojawiają się w przyrodzie dość często, a w złych powieściach i w wypocinach pseudonaukowców jeszcze częściej. W przyrodzie wszystkie te liczby są bezwymiarowe: albo stosunek długości tego do szerokości owego wynosi 3,721 cm/2,3 cm = 1,618 albo kwiatek X ma 55 płatków, a Y - 34. Natomiast pseudonaukowiec bierze taką liczbę i mnoży przez wziętą z sufitu jednostkę aby otrzymać coś takiego:

Trudno mi uwierzyć, że można być takim idiotą, żeby wierzyć iż mur berliński czekał specjalnie na PIERWIASTEK z 26 liczby Fibonacciego miesięcy synodycznych aby upaść. Tzn. oczywiście MOŻNA być takim idiotą, ale nie posądziłbym takiej osoby o umiejętność zawiązania butów nie mówiąc o pisaniu książek.

Tekst na slajdach nic nie mówi o teorii Fishera, ale rysunki tak:

Podpis pod górnym lewym wykresem brzmi: "Ropa naftowa - układ tygodniowy, lipiec 89 -czerwic 92. Spirala o ognisku A i początku B ujawnia doskonałą symetrię rynku. Źródło: Robert Fisher Research, Chicago". To jest niezły znak rozpoznawczy szarlatanów, że publikują się sami. Ale do rzeczy:

• nie wiadomo, co to jest "doskonała symetria rynku", podejrzewam, że ma to jakiś związek z punktami przecięcia "spirali" z wykresem.
• jak zwykle jednostki. Na jednej osi dolary, na drugiej tygodnie. Rysowanie spirali logarytmicznej na tym wykresie NIE MA SENSU bo wystarczy zmienić skalę na jednej osi i spirala przestanie być spiralą.
• ta krzywa przecina się z wykresem nieskończenie wiele razy - na wykresie pokazano tylko kilka przecięć
• początek krzywej i jej skalę można dobrać na nieskończenie wiele sposobów

Podobnie jak to jest z wróżeniem z fusów, można to zrobić na tyle sposobów (wybór skali na osiach, wybór początku spirali, wybór punktów przecięcia), że każdemu można wywróżyć to, co się chce.

W tym samym wykładzie znalazły się jeszcze dwa slajdy, których nie potrafię przypisać do żadnej teorii, ale są świetne więc je przytoczę:

• Współczynniki Fibonacciego występują także w okresach orbitalnych planet naszego układu słonecznego.

Bzdura.

• Odległość księżyców od planety, wokół której krążą (dla systemów planetarnych o więcej niż jednym księżycu), pozostają w proporcjach opisanych przez odpowiednie potęgi liczby fi.

Weźmy np. dwa kolejne księżyce Urana - Kresydę i Desdemonę. Stosunek promieni orbit wynosi 0.99. Jaka to potęga liczby fi?

W rzeczywistości ten stosunek wynosi 0.723 , a nie 0.618. Nawet XVIII-wieczny empiryczny wzór Titiusa-Bodego

http://pl.wikipedia.org/wiki/Reguła_Titiusa-Bodego

daje lepsze przybliżenie - 0.7, a ponadto działa też dla innych planet, gdzie złoty stosunek zawodzi całkowicie - Merkury i Wenus - 0.523. Według moich obliczeń podobne zmyślone ciekawostki na temat liczby fi stanowią dokładnie 0.618 wszystkich wystąpień tej liczby w literaturze.

Te astronomiczne bzdury nie mają żadnego związku z AT, ale pokazują rzetelność tych "naukowców" co wymyślają setną teorię o tym jak to giełdą rządzi Fibonacci albo inny kod Nostradamusa. Algorytm jest taki: weź dwie liczby i podziel. Jeśli wynik jest plus-minus 30% równy 1.618 to odkryłeś uniwersalne prawo wszechświata. Jeśli nie jest, to weź nowe dwie liczby.

Teorii Ganna jest poświęcony cały wykład, ale znów wybieram tylko najsmaczniejsze kawałki:

W. D. Gann był twórcą technik będących połączeniem kątów geometrycznych z danymi cenowymi i szeregami czasowymi.

• Był przekonany, że istnieje idealna równowaga między upływem czasu a zmianami cen występuje na rynku kapitałowym.
• Taka równowaga ma miejsce gdy ceny rosną lub spadają pod kątem 45 stopni w stosunku do osi czasu. Jest to tzw. kąt 1*1 (jednostce upływu czasy towarzyszy zmiana ceny o jednostkę).

Jaką jednostkę ośle? Przecież zależnie od jednostki czasu i od waluty KAŻDY wzrost może być wzrostem 1*1.

• Linie kątów Ganna wykreśla się pomiędzy istotnymi minimum i maksimum cenowym i prowadzi się je pod różnymi kątami.

...

• Jeśli zatem rynek osiągnął istotny szczyt na poziomie X jednostek pieniężnych, należy odmierzyć od tego momentu 100 dni, tygodni, miesięcy lub lat, uzyskując w ten sposób daty potencjalnych punktów zwrotnych na rynku.

No to przynajmniej się wyjaśniło o jaką jednostkę chodzi - dowolną.

No i zdziwienie: jak się narysuje linie pod kątami co 10 stopni, to zawsze któraś mniej więcej trafi.

Kwadrat Ganna

• Kwadrat Ganna jest metodą wyznaczania poziomów przyszłego oporu lub wsparcia.
• Polega ona na odmierzaniu pewnych jednostek czasu od historycznie najniższego poziomu ceny danego aktywu.
• Cena wyjściowa zostaje umieszczona w środku kwadratu, po czym zgodnie z ruchem wskazówek zegara wprowadza się kolejne ceny systematycznie wzrastające o pewną stałą wielkość (skok ceny).
• Liczby wypadające w ramionach krzyża powstałego z poziomych i pionowych linii przecinających się w środku kwadratu, stanowią najbardziej prawdopodobne obszary zatrzymania ceny w przyszłości.
• Pewną modyfikacją tej metody jest wykorzystywanie na wykresie kwadratu kardynalnego również linii ukośnych (przekątnych) wyznaczających potencjalne punkty zwrotne.
• Punkty znajdujące się w niebieskich polach stanowią najważniejsze poziomy oporu.

Są jeszcze trójkąt, koło i heksagon Ganna.

WTF?! Nie wiem, co to jest, ale jeszcze lepiej wyglądałoby z martwym kotem i czarnymi świecami w wierzchołkach.

Cykle Ganna

• Szczególną rolę w teorii Ganna odgrywa podział koła na 360 stopni.
• Harmonia pełnego okręgu została wykorzystana do wyznaczenia przyszłych punktów zwrotnych rynku. Gann odliczał do przodu:
• 30, 45, 60, 72, 91, 121, 152, 182, 213, 243, 273, 304, 335 i 360 dni lub stopni od istotnych dołków lub szczytów, uzyskując w ten sposób potencjalne punkty zwrotne (liczby wytłuszczone miały dla niego szczególne znaczenie)[1].

Podkreślenie - oryginalne. Dni lub stopni. Nieźle.

• Najważniejszy moment przypada według niego dokładnie po upływie roku kalendarzowego od lokalnego ekstremum.
• Metoda Ganna sprawdzała się najlepiej na rynkach produktów rolnych, które są w oczywisty sposób powiązane z cyklami pór roku.
• Istotne dni zmiany trendu mogą przypadać także po upływie okresu czasu mierzonego od istotnego szczytu lub dołka, będącego wielokrotnością liczby 7.
• Z uwagi na fakt, że tydzień liczy 7 dni, a kwadratem tej liczby jest 49, to najważniejsze odwrócenia trendów obserwowane na rynku, znajdują się w odległości do 49 do 52 dni od początku ruchu.

Powinno być: 49 dni kwadratowych. Wtedy to miałoby sens. Prawie.

• Szczególne znaczenie mają wg Ganna punkt zwrotne położone w odległości 7 miesięcy od kluczowego ekstremum cenowego.
• Nie należy też jego zdaniem lekceważyć istotnych rocznic ważnych szczytów lub dołków.
• Trzeci szereg, z którego korzystał Gann był oparty na kwadratach liczb od 1 do 12 tj.: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
• Szereg ten był pierwowzorem dla stworzonej później metody Fischera – Rysunek powyżej.
• Następnym ciągiem liczb jaki znajdujemy w opisach metod wykorzystywanych przez Ganna jest podwojenie i potrojenie poprzednika.
• Odległości potencjalnych punktów zwrotnych od dnia istotnego ekstremum cenowego wynoszą w dniach:
• 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 ...
• 1, 3, 9, 18, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561 ...

To chyba miały być potęgi 3, ale nawet tego nie umiał zrobić dobrze...

• Odwrócenie trendu jest bardzo prawdopodobne jeśli jednocześnie zbiegają się co najmniej trzy okresy mierzone w identycznych jednostkach (dni, tygodnie lub miesiące).
• Od kluczowych punktów zwrotnych w przeszłości (niezależnie czy są to dołki czy też szczyty) odlicza się okresy równe kolejnym liczbom ciągu Fibonacciego.

Podsumowując odwrócenia trendu należy spodziewać się po liczbie dni, tygodni lub miesięcy:

kwadracie liczby naturalnej, podzielnej przez 7, potędze 2, potędze 3, liczbie Fibonacciego, l00, jednej z liczb

• 30, 45, 60, 72, 91, 121, 152, 182, 213, 243, 273, 304, 335 i 360

lub podwojeniu albo potrojeniu którejkolwiek z powyższych. Czyli zawsze. Trudno się nie zgodzić z Gannem.

Jakby tego było mało Ganna można połączyć z deklinacjami Wenus i Urana:

Jak się te wszystkie ciągi liczbowe, planety linie, kąty naniesie na jeden wykres to powstaje coś takiego:

I wszystko jasne!

Z tej całej żenady można jednak wynieść jakąś lekcję. Liczby Fibonacciego (wszyscy), pierwiastki z liczb Fibonacciego (Carolan), potęgi 2 i 3 (Gann) oczywiście nie rządzą odległościami w astronomii ani okresami czasu w historii i na giełdzie, ale z jakiegoś powodu podejrzanie dobrze można nimi te wielkości przybliżać. Wszystkie te ciągi, to ciągi wykładnicze (liczby F to praktycznie potęgi liczby fi). Wydaje się, że uprawiając swoją pseudonaukę Carolan, Fisher i Gann nieświadomie natknęli się na autentyczne prawo przyrody, które mówi, że bardzo wiele rozkładów fizycznych wielkości daje się przybliżyć rozkładem 1/x. 1/x to rozkład jaki mają liczby wyciągane w losowych momentach z ciągu wykładniczego. O tym, dlaczego tak jest, o niezmienniczości skalowania i o tym, dlaczego małe cyfry są bardziej popularne niż duże napiszę wkrótce.